समीकरण x^2-5xy+py^2+3x-8y+2=0 सरल रेखाओं के ए | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण $x^2-5xy+py^2+3x-8y+2=0$ की तुलना सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, h=-\frac{5}{2}, b=p, g=\

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$\frac{1}{\sqrt{50}}$

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(A) दिए गए समीकरण $x^2-5xy+py^2+3x-8y+2=0$ की तुलना सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, h=-\frac{5}{2}, b=p, g=\frac{3}{2}, f=-4, c=2$ प्राप्त होता है। यह समीकरण सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है यदि $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ हो। मान रखने पर: $1(p)(2) + 2(-4)(\frac{3}{2})(-\frac{5}{2}) - 1(-4)^2 - p(\frac{3}{2})^2 - 2(-\frac{5}{2})^2 = 0$. $2p + 30 - 16 - \frac{9p}{4} - \frac{25}{2} = 0$. $4$ से गुणा करने पर: $8p + 120 - 64 - 9p - 50 = 0$ $\Rightarrow -p + 6 = 0$ $\Rightarrow p=6$. रेखाओं के बीच का कोण $	heta$,$	an 	heta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} ight|$ द्वारा दिया जाता है। $	an 	heta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{5}{2})^2 - 1(6)}}{1+6} ight| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4}-6}}{7} ight| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{7} ight| = \frac{2(\frac{1}{2})}{7} = \frac{1}{7}$. चूंकि $	an 	heta = \frac{1}{7}$,हम सम्मुख भुजा $1$ और आसन्न भुजा $7$ वाला एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं। कर्ण $\sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{50}$ है। अतः,$\sin 	heta = \frac{1}{\sqrt{50}}$.

समीकरण $x^2-5xy+py^2+3x-8y+2=0$ सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है। यदि $\theta$ उनके बीच का कोण है,तो $\sin \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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