आकृति y=2x-4x^3 ग्राफ का एक भाग दर्शाती है। र | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $y=2x-4x^3$ है। मान लीजिए $2x-4x^3=c$ के मूल $a, b$ और $\alpha$ हैं। चूंकि $4x^3-2x+c=0$,इसलिए $a+b+\alpha=0$,$ab+a\alpha+b\alpha=-\

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$\frac{2}{\sqrt{7}}$

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(A) दिया गया वक्र $y=2x-4x^3$ है। मान लीजिए $2x-4x^3=c$ के मूल $a, b$ और $\alpha$ हैं। चूंकि $4x^3-2x+c=0$,इसलिए $a+b+\alpha=0$,$ab+a\alpha+b\alpha=-\frac{1}{2}$,और $ab\alpha=-\frac{c}{4}$ है। आकृति से,क्षेत्र $I$ का क्षेत्रफल $\int_a^b (2x-4x^3-c) dx$ है और क्षेत्र $II$ का क्षेत्रफल $c(b-a)$ है। दिया गया है कि $\int_a^b (2x-4x^3-c) dx = c(b-a)$,इसलिए $\int_a^b (2x-4x^3) dx = 2c(b-a)$। समाकलन करने पर: $[x^2-x^4]_a^b = 2c(b-a) \Rightarrow (b^2-a^2)-(b^4-a^4) = 2c(b-a)$। $(b-a)$ से विभाजित करने पर,$(b+a)(1-(b^2+a^2)) = 2c$ प्राप्त होता है। चूंकि $a+b=-\alpha$,इसलिए $-\alpha(1-(a^2+b^2)) = 2c$ प्राप्त होता है। $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = \alpha^2-2(\alpha^2-\frac{1}{2}) = 1-\alpha^2$ का उपयोग करने पर,$-\alpha(1-(1-\alpha^2)) = 2c \Rightarrow -\alpha^3 = 2c$ प्राप्त होता है। साथ ही $ab\alpha = -c/4 \Rightarrow c = -4ab\alpha = -4\alpha(\alpha^2-1/2) = -4\alpha^3+2\alpha$। $2c = -2\alpha^3$ और $2c = -8\alpha^3+4\alpha$ की तुलना करने पर,$6\alpha^3=4\alpha$ प्राप्त होता है। चूंकि $\alpha 
eq 0$,इसलिए $\alpha^2 = 2/3$। विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $\frac{2}{\sqrt{7}}$ है।

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