y = ||x| - 1| द्वारा दिया गया फलन किन बिंदुओं | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = ||x| - 1|$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ मापांक (modulus) के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है,क्योंकि ये बिंदु ग्राफ में तीक्ष्ण म

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$\{0, 1, -1\}$

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(A) फलन $f(x) = ||x| - 1|$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ मापांक (modulus) के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है,क्योंकि ये बिंदु ग्राफ में तीक्ष्ण मोड़ (sharp corners) बनाते हैं।$1$. आंतरिक मापांक $|x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।$2$. बाहरी मापांक $||x| - 1|$,तब अवकलनीय नहीं है जब $|x| - 1 = 0$ हो,जिसका अर्थ है $|x| = 1$,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$ है।अतः,फलन $x = \{-1, 0, 1\}$ पर अवकलनीय नहीं है।वैकल्पिक विधि:$y = ||x| - 1|$ के ग्राफ को देखने पर,हम देख सकते हैं कि $x = -1$,$x = 0$ और $x = 1$ पर तीक्ष्ण मोड़ हैं। जिन बिंदुओं पर ग्राफ में तीक्ष्ण मोड़ होते हैं,वहां फलन अवकलनीय नहीं होता है। इसलिए,फलन $\{-1, 0, 1\}$ पर अवकलनीय नहीं है।

$y = ||x| - 1|$ द्वारा दिया गया फलन किन बिंदुओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अवकलनीय है?

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^2 \left| \cos \frac{\pi}{x} \right|, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$,$x \in \mathbb{R}$,तो $f$ है

यदि $f(x) = \begin{cases} x[x], & 0 \le x < 2 \\ (x-1)[x], & 2 \le x \le 4 \end{cases}$,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो:

फलन $f(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3)$ है

यदि $f(x + y) = f(x) + f(y) + |x|y + xy^2$,$\forall x, y \in R$ और $f'(0) = 0$ है,तो

यदि फलन $g(x) = \begin{cases} ae^x, & x \le 0 \\ b\cos x + x, & x > 0 \end{cases}$ अवकलनीय है,तो $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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