अवकल समीकरण $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$ का व्यापक हल क्या है? (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।)

अवकल समीकरण $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + \left(1-\frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}} dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए ($C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

दो हवाई जहाज $I$ और $II$ क्रमिक रूप से एक लक्ष्य पर बम गिराते हैं। $I$ और $II$ द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता क्रमशः $0.3$ और $0.2$ है। दूसरा विमान केवल तभी बम गिराएगा यदि पहला विमान लक्ष्य से चूक जाता है। दूसरे विमान द्वारा लक्ष्य के भेद जाने की प्रायिकता है

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$, $y(1) = \frac{\pi}{2}$ का हल है और मान लीजिए $\alpha = \cos(\frac{e^{12}}{e^{12}})$ है। तो $p$ के उन पूर्णांक मानों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनके लिए समीकरण $x^2 + y^2 - 2px + 2py + \alpha + 2 = 0$ एक $r \leq 6$ त्रिज्या वाला वृत्त निरूपित करता है।

यदि अवकल समीकरण $y^{2} dx + (x^{2} - xy + y^{2}) dy = 0$ का हल वक्र $y=y(x)$ बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है और रेखा $y = \sqrt{3}x$ को बिंदु $(\alpha, \sqrt{3}\alpha)$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो $\log_{e}(\sqrt{3}\alpha)$ का मान क्या होगा?

उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(1,0)$ से होकर गुजरता है और जिसकी स्पर्श रेखा की ढाल $1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ है।