अवकल समीकरण (x+y) y dx + (y-x) x dy = 0 का व् | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y) y dx + (y-x) x dy = 0$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $(y-x) x dy = -(x+y) y dx$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+y) y}{(

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$x+y \log (cxy) = 0$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y) y dx + (y-x) x dy = 0$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $(y-x) x dy = -(x+y) y dx$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+y) y}{(x-y) x}$ प्राप्त होता है। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(x+vx) vx}{(x-vx) x} = \frac{v(1+v)}{1-v} = \frac{v+v^2}{1-v}$। $x \frac{dv}{dx} = \frac{v+v^2}{1-v} - v = \frac{v+v^2-v+v^2}{1-v} = \frac{2v^2}{1-v}$। चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1-v}{v^2} dv = \int \frac{2}{x} dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$। $-v^{-1} - \ln|v| = 2 \ln|x| + C$। $v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{y} - \ln(\frac{y}{x}) = 2 \ln|x| + C$। $-\frac{x}{y} - \ln|y| + \ln|x| = 2 \ln|x| + C$। $-\frac{x}{y} = \ln|y| + \ln|x| + C = \ln|xy| + C$। $-y$ से गुणा करने पर: $x = -y \ln|xy| - yC$। $x + y(\ln|xy| + C) = 0$। $x + y \ln|cxy| = 0$,जहाँ $C = \ln|c|$।

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