अवकल समीकरण (x-(x+y) log (x+y)) dx + x dy = 0 | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(x - (x+y) \log(x+y)) dx + x dy = 0$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $x dy = ((x+y) \log(x+y) - x) dx$. $\frac{dy}{dx} = \frac{

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$\log (x+y) = cx$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(x - (x+y) \log(x+y)) dx + x dy = 0$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $x dy = ((x+y) \log(x+y) - x) dx$. $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+y) \log(x+y) - x}{x}$. माना $v = x+y$,तब $dv = dx + dy$,अर्थात $dy = dv - dx$. समीकरण में मान रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v \log v - x}{x} = \frac{v \log v}{x} - 1$. $\frac{dv}{dx} = \frac{v \log v}{x}$. चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$. माना $u = \log v$,तब $du = \frac{1}{v} dv$. $\int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x} \implies \log|u| = \log|x| + \log|c|$. $u = cx \implies \log v = cx$. $v = x+y$ वापस रखने पर: $\log(x+y) = cx$.

अवकल समीकरण $(x-(x+y) \log (x+y)) dx + x dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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