शांकव x^2-(y-1)^2=1 के ग्राफ में मूल बिंदु से | vedclass

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Question

(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ है। माना मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा $y = mx$ है। चूंकि रेखा अतिपरवलय को स्पर्श करती है

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$\frac{\pi}{4}$

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(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ है। माना मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा $y = mx$ है। चूंकि रेखा अतिपरवलय को स्पर्श करती है,केंद्र $(0, 1)$ से रेखा $mx - y = 0$ की लंबवत दूरी अर्ध-अनुप्रस्थ अक्ष $a = 1$ के बराबर होनी चाहिए। बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए,$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$। $1 = \frac{|m(0) - 1(1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$ $\Rightarrow 1 = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ $\Rightarrow m^2 + 1 = 1$ $\Rightarrow m = 0$। लेकिन ढाल धनात्मक होनी चाहिए। स्पर्श बिंदु $(a, b)$ के लिए $b = ma$ और $a^2 - (b - 1)^2 = 1$ है। अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y - 1}$ प्राप्त होता है। बिंदु $(a, b)$ पर ढाल $m = \frac{a}{b - 1}$ है। $m = \frac{b}{a}$ होने के कारण,$\frac{b}{a} = \frac{a}{b - 1} \Rightarrow a^2 = b^2 - b$। $a^2 = b^2 - b$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर: $(b^2 - b) - (b^2 - 2b + 1) = 1$ $\Rightarrow b - 1 = 1$ $\Rightarrow b = 2$। अतः $a^2 = 2^2 - 2 = 2 \Rightarrow a = \sqrt{2}$। इस प्रकार,$\sin^{-1}\left(\frac{a}{b}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$।

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यदि रेखा $y = \sqrt{3}x$ वक्र $x^4 + ax^2y + bxy + cx + dy + 6 = 0$ को $A$,$B$,$C$ और $D$ पर काटती है,तो $OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD$ का मान ज्ञात कीजिए,(जहाँ $O$ मूलबिंदु है)।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ की नाभियाँ संपाती हैं। तब $b^2$ का मान है

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