નીચેના આલેખ સમય $t$ ના વિધેય તરીકે કોણીય વેગ $\omega$ દર્શાવે છે. કયા આલેખમાં કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ નું મૂલ્ય સતત ઘટી રહ્યું છે?

$m$ દળ અને $L$ લંબાઈનો એક સળિયો તેના એક છેડેથી લટકાવેલ છે. $m$ દળની એક ગોળી $v$ ઝડપથી ગતિ કરતી સળિયા સાથે તેના ધરીબિંદુથી $x$ અંતરે આડી અથડાય છે અને તેમાં ખૂંપી જાય છે. સંયુક્ત તંત્ર હવે ધરીબિંદુની આસપાસ $\omega$ કોણીય ઝડપથી ફરે છે. મહત્તમ કોણીય ઝડપ $\omega_M$ એ $x=x_M$ માટે પ્રાપ્ત થાય છે. તો
$(A)$ $\omega=\frac{3 v x}{ L ^2+3 x^2}$
$(B)$ $\omega=\frac{12 v x}{L^2+12 x^2}$
$(C)$ $x_M=\frac{L}{\sqrt{3}}$
$(D)$ $\omega_M=\frac{v}{2 L} \sqrt{3}$

$3m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક અર્ધગોલક લીસી આડી સપાટી પર સરકવા માટે મુક્ત છે. $m$ દળનો એક કણ અર્ધગોલકની ટોચ પર મૂકવામાં આવે છે. જો કણને નગણ્ય વેગ સાથે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો જ્યારે અર્ધગોલકનો વેગ $v$ હોય,ત્યારે $\theta$ કોણીય સ્થાનાંતરે અર્ધગોલકના કેન્દ્રની સાપેક્ષે કણનો કોણીય વેગ શોધો.

જેટ એન્જિનના પરીક્ષણ દરમિયાન,તેનો કોમ્પ્રેસર નીચે આપેલા ગ્રાફ મુજબ ફરે છે. પરીક્ષણ દરમિયાન કોમ્પ્રેસર દ્વારા પૂર્ણ કરવામાં આવેલા કુલ પરિભ્રમણોની સંખ્યા કેટલી હશે?

ખાલી જગ્યા પૂરો:
$(1)$ જો $|\vec{A} \times \vec{B}| = \vec{A} \cdot \vec{B}$ હોય,તો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો ............ થાય.
$(2)$ ચાકગતિ કરતાં કણના કોણીય વેગમાન અને રેખીય વેગમાન વચ્ચેનો ખૂણો ............ થાય.
$(3)$ $(2\hat{i} + \hat{j})$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા કણ પર $F\hat{k}$ બળ લાગે છે,તો કણ પર લાગતું ટોર્ક ............ થાય.

ત્રણ સમાન ગોલીય કવચો,દરેકનું દળ $m$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોઠવેલા છે. એક અક્ષ $XX'$ ધ્યાનમાં લો જે બે કવચને સ્પર્શે છે અને ત્રીજા કવચના વ્યાસમાંથી પસાર થાય છે. આ ત્રણ ગોલીય કવચો ધરાવતી સિસ્ટમની $XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી છે?