a व्यास वाले गोले में अंतर्निहित अधिकतम आयतन | vedclass

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Question

(A) माना $R = a/2$ गोले की त्रिज्या है। माना $h$ शंकु की ऊँचाई है और $r$ शंकु के आधार की त्रिज्या है।ज्यामिति के अनुसार,यदि $x$ गोले के केंद्र से शंकु

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$(2/3)a$

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(A) माना $R = a/2$ गोले की त्रिज्या है। माना $h$ शंकु की ऊँचाई है और $r$ शंकु के आधार की त्रिज्या है।ज्यामिति के अनुसार,यदि $x$ गोले के केंद्र से शंकु के आधार तक की दूरी है,तो $h = R + x = a/2 + x$ होगा।शंकु के आधार की त्रिज्या $r^2 = R^2 - x^2 = (a/2)^2 - x^2$ द्वारा दी जाती है।शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi ((a/2)^2 - x^2)(a/2 + x)$ है।इसका विस्तार करने पर,$V = \frac{\pi}{3} (a^2/4 - x^2)(a/2 + x) = \frac{\pi}{3} (a^3/8 + a^2x/4 - ax^2/2 - x^3)$ प्राप्त होता है।आयतन को अधिकतम करने के लिए,$dV/dx = 0$ रखें:$dV/dx = \frac{\pi}{3} (a^2/4 - ax - 3x^2) = 0$.$3x^2 + ax - a^2/4 = 0$.द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(3)(-a^2/4)}}{2(3)} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 3a^2}}{6} = \frac{-a \pm 2a}{6}$ प्राप्त होता है।चूँकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = a/6$ है।अतः,ऊँचाई $h = a/2 + a/6 = (3a + a)/6 = 4a/6 = (2/3)a$ है।

$a$ व्यास वाले गोले में अंतर्निहित अधिकतम आयतन वाले लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई क्या है?

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