हाइड्रोजन परमाणु की पहली बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $...... eV$ है।

बोर कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात क्या है?

परमाणु क्रमांक $Z$ वाले हाइड्रोजन-जैसे परमाणु की $n=3$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन पर विचार करें। परम तापमान $T$ पर,$k_B T$ ऊष्मीय ऊर्जा वाले एक न्यूट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य इस इलेक्ट्रॉन के समान है। यदि यह तापमान $T = \frac{Z^2 h^2}{\alpha \pi^2 a_0^2 m_N k_B}$ द्वारा दिया गया है,(जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,$m_N$ न्यूट्रॉन का द्रव्यमान है और $a_0$ हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम बोहर त्रिज्या है),तो $\alpha$ का मान $....$ है।

यदि हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन तीसरी कक्षा से दूसरी कक्षा में कूदता है,तो उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति क्या होगी? (जहाँ $c$ प्रकाश की गति है और $R$ रिडबर्ग नियतांक है)

शास्त्रीय रूप से,एक इलेक्ट्रॉन परमाणु के नाभिक के चारों ओर किसी भी कक्षा में हो सकता है। तो परमाणु का विशिष्ट आकार क्या निर्धारित करता है? एक परमाणु अपने विशिष्ट आकार से हजार गुना बड़ा क्यों नहीं है? इस प्रश्न ने बोहर को उनके प्रसिद्ध परमाणु मॉडल पर पहुंचने से पहले बहुत उलझन में डाल दिया था जिसे आपने पाठ्यपुस्तक में सीखा है। अपनी खोज से पहले उन्होंने जो किया होगा उसका अनुकरण करने के लिए,आइए प्रकृति के मूल स्थिरांकों के साथ इस प्रकार खेलें और देखें कि क्या हमें लंबाई के आयाम वाली एक ऐसी मात्रा मिल सकती है जो परमाणु के ज्ञात आकार $\left(\sim 10^{-10} \;m \right)$ के लगभग बराबर हो।
$(a)$ मूल स्थिरांकों $e, m_{e},$ और $c$ से लंबाई के आयाम वाली एक मात्रा का निर्माण करें। इसका संख्यात्मक मान निर्धारित करें।
$(b)$ आप पाएंगे कि $(a)$ में प्राप्त लंबाई परमाणु आयामों से कई गुना छोटी है। इसके अलावा,इसमें $c$ शामिल है। लेकिन परमाणुओं की ऊर्जाएं ज्यादातर गैर-सापेक्षवादी क्षेत्र में होती हैं जहां $c$ की कोई भूमिका होने की उम्मीद नहीं है। इसी ने बोहर को $c$ को छोड़ने और सही परमाणु आकार प्राप्त करने के लिए 'कुछ और' खोजने का सुझाव दिया होगा। अब,प्लांक का स्थिरांक $h$ कहीं और दिखाई दे चुका था। बोहर की महान अंतर्दृष्टि यह पहचानने में थी कि $h, m_{e},$ और $e$ सही परमाणु आकार देंगे। $h, m_{e},$ और $e$ से लंबाई के आयाम वाली एक मात्रा का निर्माण करें और पुष्टि करें कि इसका संख्यात्मक मान वास्तव में सही क्रम का है।

हाइड्रोजन परमाणु की सबसे आंतरिक इलेक्ट्रॉन कक्षा की त्रिज्या $5.3 \times 10^{-11} \;m$ है। $n=2$ और $n=3$ कक्षाओं की त्रिज्याएँ क्या हैं?