एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड की पार्श्व कोर $1 \text{ cm}$ है। यदि आयतन अधिकतम है,तो इसकी ऊँचाई किसके बराबर होनी चाहिए?

दो संख्याओं का योग निश्चित है। तो उनका गुणनफल अधिकतम तब होता है जब:

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=\begin{cases} \frac{6x+\sin x}{2x+\sin x} & \text{यदि } x \neq 0 \\ \frac{7}{3} & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ बिंदु $x=0$,$f$ का स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है
$(B)$ बिंदु $x=0$,$f$ का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है
$(C)$ अंतराल $[\pi, 6\pi]$ में $f$ के स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदुओं की संख्या $3$ है
$(D)$ अंतराल $[2\pi, 4\pi]$ में $f$ के स्थानीय निम्निष्ठ बिंदुओं की संख्या $1$ है

$2x$,$4x$ और $5x$ भुजाओं वाले एक घनाभ और $r$ त्रिज्या वाले एक बंद अर्धगोले पर विचार करें। यदि उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग एक स्थिरांक $k$ है,तो वह अनुपात $x:r$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए उनके आयतनों का योग अधिकतम है।

सिद्ध कीजिए कि फलन $h(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ का कोई स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान नहीं है।

फलन $y = e^{-|x|}$ के ग्राफ पर उस बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ निर्देशांक अक्षों के बीच स्पर्शरेखा का अंतःखंडित भाग अधिकतम क्षेत्रफल रखता है।