$(x_1 - x_2)^2 + (\sqrt{2 - x_1^2} - \frac{9}{x_2})^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો,જ્યાં $x_1 \in (0, \sqrt{2})$ અને $x_2 \in R^+$.

ધારો કે $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $\overrightarrow{PQ} = a \hat{i} + b \hat{j}$ અને $\overrightarrow{PS} = a \hat{i} - b \hat{j}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની પાસપાસેની બાજુઓ છે. ધારો કે $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{v}$ એ $\overrightarrow{w} = \hat{i} + \hat{j}$ ના અનુક્રમે $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ પરના પ્રક્ષેપ સદિશો છે. જો $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}|$ અને જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $8$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $a + b = 4$
$(B)$ $a - b = 2$
$(C)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણ $PR$ ની લંબાઈ $4$ છે
$(D)$ $\overrightarrow{w}$ એ સદિશો $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે

ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ બે સદિશો છે. એક સદિશ $\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. જો સદિશ $(\vec{a} + \vec{b})$ પર $\vec{c}$ નો પ્રક્ષેપ $3\sqrt{2}$ હોય,તો $(\vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b})) \cdot \vec{c}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

કોલમ $I$ માં આપેલા વિધાનોને કોલમ $II$ માં આપેલા મૂલ્યો સાથે જોડો.

કોલમ $I$	કોલમ $II$
$(A)$ જો $\vec{a}=\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{b}=-\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$ અને $\vec{c}=2 \sqrt{3} \hat{k}$ ત્રિકોણ બનાવે છે,તો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ત્રિકોણનો આંતરિક ખૂણો છે	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ જો $\int_a^b(f(x)-3 x) d x=a^2-b^2$ હોય,તો $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ નું મૂલ્ય છે	$(q)$ $\frac{2 \pi}{3}$
$(C)$ $\frac{\pi^2}{\ln 3} \int_{1 / 6}^{5 / 6} \sec (\pi x) d x$ નું મૂલ્ય છે	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ $|z|=1, z \neq 1$ માટે $|\operatorname{Arg}(\frac{1}{1-z})|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય છે	$(s)$ $\pi$
	$(t)$ $\frac{\pi}{2}$

$A, B, P, Q, R$ સમતલમાં આવેલા પાંચ બિંદુઓ છે. જો બિંદુ $A$ પર લાગતા બળો $\overline{AP}, \overline{AQ}, \overline{AR}$ અને બિંદુ $B$ પર લાગતા બળો $\overline{PB}, \overline{QB}, \overline{RB}$ હોય,તો આ બધા બળોનું પરિણામી બળ શોધો.

જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ નિયમિત ષષ્ટકોણ $ABCDEF$ ની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ દર્શાવતા સદિશો હોય,તો $\vec{AE} = \dots$