समीकरण $4 \int_0^{3/2} f(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{\sqrt{f(x)+x^2}} = 108$ को संतुष्ट करने वाले सतत फलनों $f : [0, \frac{3}{2}] \rightarrow (0, \infty)$ की संख्या क्या है?

मान लीजिए $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \tan^{-1} x \, dx$ है। यदि सभी $n \geq 1$ के लिए $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ है, तो

$y = \int_{0}^{x} (t - 1)(t - 2) dt$ का चरम मान (extremum value) ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $F: R \rightarrow R$ एक तीन बार अवकलनीय फलन है। मान लीजिए $F(1)=0, F(3)=-4$ और सभी $x \in (1/2, 3)$ के लिए $F^{\prime}(x) < 0$ है। मान लीजिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x)=x F(x)$ है।
$1.$ सही कथन है(हैं):
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{किसी भी }x \in (1,3) \text{के लिए }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ कुछ $x \in (1, 3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ यदि $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ और $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ है,तो सही व्यंजक है(हैं):
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।

फलन $y = f(x)$ के ग्राफ पर बिंदु $x = a$ पर स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\pi/3$ का कोण बनाती है और बिंदु $x = b$ पर $\pi/4$ का कोण बनाती है। तो समाकलन $\int_{a}^{b} f(x) \cdot f''(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए (मान लीजिए कि $f''(x)$ सतत है)।