क्रमित युग्मों (r, k) की संख्या ज्ञात कीजिए ज | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $6 \cdot ^{35} C_{r} = (k^2 - 3) \cdot ^{36} C_{r+1}$ है।सर्वसमिका $^{n+1} C_{r+1} = \frac{n+1}{r+1} \cdot ^{n} C_{r}$ का उपयोग क

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$4$

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(C) दिया गया समीकरण: $6 \cdot ^{35} C_{r} = (k^2 - 3) \cdot ^{36} C_{r+1}$ है।सर्वसमिका $^{n+1} C_{r+1} = \frac{n+1}{r+1} \cdot ^{n} C_{r}$ का उपयोग करने पर:$k^2 - 3 = \frac{6 \cdot ^{35} C_{r}}{^{36} C_{r+1}} = \frac{6 \cdot ^{35} C_{r}}{\frac{36}{r+1} \cdot ^{35} C_{r}} = \frac{6(r+1)}{36} = \frac{r+1}{6}$ प्राप्त होता है।चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,$k^2 - 3$ एक अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए। साथ ही,संचय परिभाषित होने के लिए $0 \le r \le 35$ होना चाहिए।अतः,$k^2 = \frac{r+1}{6} + 3 = \frac{r+19}{6}$ है।$k^2$ को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए $r \in \{0, 1, ..., 35\}$ के मानों की जाँच करने पर:यदि $r=5$,तो $k^2 = \frac{5+19}{6} = 4 \Rightarrow k = \pm 2$ है।यदि $r=35$,तो $k^2 = \frac{35+19}{6} = 9 \Rightarrow k = \pm 3$ है।अतः,क्रमित युग्म $(r, k)$ के मान $(5, 2), (5, -2), (35, 3), (35, -3)$ हैं।कुल $4$ ऐसे क्रमित युग्म संभव हैं।

क्रमित युग्मों $(r, k)$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $6 \cdot ^{35} C_{r} = (k^2 - 3) \cdot ^{36} C_{r+1}$ है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है:

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