દસ પદોની એવી શ્રેણીઓની સંખ્યા,જેના પદો $0$,$1$ અથવા $2$ હોય અને જેમાં બરાબર પાંચ $1$,ત્રણ $2$ અને બે $0$ હોય,તે કેટલી થાય?

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$: $N = 2^{\alpha_1} 3^{\alpha_2} 4^{\alpha_3} 5^{\alpha_4} 6^{\alpha_5}$ સંખ્યાના બિન-તુચ્છ બેકી ભાજકોની સંખ્યા $(\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5)(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1$ છે.
$II$: $N = 2^{\alpha_1} 3^{\alpha_2} 4^{\alpha_3} 5^{\alpha_4} 6^{\alpha_5}$ સંખ્યાના બિન-તુચ્છ એકી ભાજકોની સંખ્યા $\alpha_2+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_2\alpha_4+\alpha_4\alpha_5$ છે. તો:

જો ${\left( {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right)^n}, x \ne 0$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $28$ હોય,તો આ વિસ્તરણમાં તમામ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $100!$ દ્વારા દર્શાવેલ પૂર્ણાંકના અંતમાં $K$ ક્રમિક શૂન્યો હોય,તો $K=$

$2^5 \times 3^4 \times 5^2$ ના ભાજકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $\left(3 x^{3}-2 x^{2}+\frac{5}{x^{5}}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં અચળ પદ $2^{k} \cdot l$ હોય,જ્યાં $l$ એ એકી પૂર્ણાંક છે,તો $k$ ની કિંમત કેટલી થાય?