માધ્યમના પ્રકાશીય ગુણધર્મો સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $(\epsilon_r)$ અને સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $(\mu_r)$ દ્વારા નક્કી થાય છે. વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સામાન્ય પદાર્થો માટે $\epsilon_r > 0$ અને $\mu_r > 0$ હોય છે અને વર્ગમૂળ માટે ધન ચિહ્ન લેવામાં આવે છે. $1964$ માં,રશિયન વૈજ્ઞાનિક વી. વેસેલાગોએ $\epsilon_r < 0$ અને $\mu_r < 0$ ધરાવતા પદાર્થોના અસ્તિત્વની આગાહી કરી હતી. ત્યારથી,આવી 'મેટા-મટીરીયલ્સ' પ્રયોગશાળાઓમાં બનાવવામાં આવી છે અને તેમના પ્રકાશીય ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. આવા પદાર્થો માટે $n = -\sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ હોય છે. જ્યારે પ્રકાશ આવા વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તરંગો પ્રસરણની દિશાથી વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
$(i)$ ઉપરના વર્ણન મુજબ,દર્શાવો કે જો પ્રકાશના કિરણો હવા (વક્રીભવનાંક $= 1$) માંથી આવા માધ્યમમાં $2^{nd}$ ચરણમાં $\theta_i$ ખૂણે પ્રવેશે,તો વક્રીભૂત કિરણ $3^{rd}$ ચરણમાં હોય છે.
$(ii)$ સાબિત કરો કે આવા માધ્યમ માટે સ્નેલનો નિયમ લાગુ પડે છે.

(N/A) $(i)$ હવા $(n_1 = 1)$ અને મેટા-મટીરીયલ $(n_2 = -|n|)$ વચ્ચેની સપાટીનો વિચાર કરો. ધારો કે તરંગ અગ્ર $BC$ એ સપાટી પર $C$ બિંદુએ આપાત થાય છે. હ્યુજન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,તરંગ અગ્રને $B$ થી $C$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{BC}{c}$ છે. તે જ સમય $t$ માં,$A$ બિંદુમાંથી નીકળતું ગૌણ તરંગ મેટા-મટીરીયલમાં $AD = v_2 t = \frac{c}{|n_2|} t = \frac{BC}{|n_2|}$ અંતર કાપશે.
આપાત તરંગ અગ્રની ભૂમિતિ પરથી,$BC = AC \sin \theta_i$. વક્રીભૂત તરંગ અગ્રની ભૂમિતિ પરથી,$AD = AC \sin \theta_r$. મેટા-મટીરીયલમાં ફેઝ વેલોસીટી સપાટી તરફ હોવાથી,વક્રીભૂત કિરણ આપાત કિરણની જેમ લંબની એક જ બાજુએ પરંતુ લંબની સાપેક્ષ વિરુદ્ધ ચરણમાં હોવું જોઈએ,જે તેને $3^{rd}$ ચરણમાં મૂકે છે.
$(ii)$ ત્રિકોણ $ABC$ અને $ADC$ પરથી,આપણી પાસે $\sin \theta_i = \frac{BC}{AC}$ અને $\sin \theta_r = \frac{AD}{AC}$ છે.
બંનેનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = \frac{BC}{AD}$ મળે છે.
$BC = c t$ અને $AD = |v_2| t$ મૂકતા,આપણને $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = \frac{c}{|v_2|} = |n_2|$ મળે છે.
કારણ કે $n_2 = -|n_2|$,તેથી $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = n_2$ (ખૂણાઓના ગુણોત્તર માટે મૂલ્ય લેતા),જે સાબિત કરે છે કે સ્નેલનો નિયમ લાગુ પડે છે.