अवकल समीकरण (x+y) dy + (x-y) dx = 0 का x=1, y | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$. इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ के रूप में लिखा जा सकता है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx}

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$\log \left|\frac{x^2+y^2}{2}ight|=\frac{\pi}{2}-2 	an ^{-1}\left(\frac{y}{x}ight)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$. इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ के रूप में लिखा जा सकता है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1}$. $x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1} - v = -\frac{1+v^2}{1+v}$. चरों का पृथक्करण करने पर: $\int \frac{1+v}{1+v^2} dv = -\int \frac{dx}{x}$. $	an^{-1}(v) + \frac{1}{2} \log(1+v^2) = -\log|x| + C$. $v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(1+\frac{y^2}{x^2}) = -\log|x| + C$. सरल करने पर: $	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = C$. $x=1, y=1$ के लिए: $	an^{-1}(1) + \frac{1}{2} \log(2) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$. अतः,$	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$. $\frac{1}{2} \log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{4} - 	an^{-1}(\frac{y}{x})$. दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(\frac{y}{x})$.

अवकल समीकरण $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$ का $x=1, y=1$ पर विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

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