समतल 2x - y + 3z + 5 = 0 को समतल 5x - 4y - 2z | vedclass

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Question

(B) दिए गए समतलों $P_1: 2x - y + 3z + 5 = 0$ और $P_2: 5x - 4y - 2z + 1 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P

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$27x - 24y - 26z - 13 = 0$

Vedclass · Answer

(B) दिए गए समतलों $P_1: 2x - y + 3z + 5 = 0$ और $P_2: 5x - 4y - 2z + 1 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(2x - y + 3z + 5) + \lambda(5x - 4y - 2z + 1) = 0$$(2 + 5\lambda)x - (1 + 4\lambda)y + (3 - 2\lambda)z + (5 + \lambda) = 0$ ... $(1)$चूँकि समतल को प्रतिच्छेदन रेखा के परितः $90^o$ घुमाया जाता है,नया समतल मूल समतल $2x - y + 3z + 5 = 0$ के लंबवत होगा।अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2 + 5\lambda, -(1 + 4\lambda), 3 - 2\lambda)$ और $\vec{n_2} = (2, -1, 3)$ हैं।लंबवत समतलों के लिए,उनके अभिलंबों का अदिश गुणनफल शून्य होता है:$2(2 + 5\lambda) - 1(-(1 + 4\lambda)) + 3(3 - 2\lambda) = 0$$4 + 10\lambda + 1 + 4\lambda + 9 - 6\lambda = 0$$8\lambda + 14 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{4}$.समीकरण $(1)$ में $\lambda = -\frac{7}{4}$ रखने पर:$(2 + 5(-\frac{7}{4}))x - (1 + 4(-\frac{7}{4}))y + (3 - 2(-\frac{7}{4}))z + (5 - \frac{7}{4}) = 0$$-\frac{27}{4}x + 6y + \frac{13}{2}z + \frac{13}{4} = 0$$-4$ से गुणा करने पर:$27x - 24y - 26z - 13 = 0$.

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यदि रेखाएँ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4}$ और $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1}$ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

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