बिंदु $A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ और $C(x_{3}, y_{3})$ एक $\triangle ABC$ के शीर्ष हैं।
$(i)$ $A$ से खींची गई माध्यिका $BC$ को $D$ पर मिलती है। बिंदु $D$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
$(ii)$ $AD$ पर स्थित बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि $AP : PD = 2 : 1$ हो।
$(iii)$ माध्यिकाओं $BE$ और $CF$ पर स्थित बिंदुओं $Q$ और $R$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए,ताकि $BQ : QE = 2 : 1$ और $CR : RF = 2 : 1$ हो।
$(iv)$ त्रिभुज $ABC$ के केंद्रक के निर्देशांक क्या हैं?

(N/A) दिया गया है कि बिंदु $A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ और $C(x_{3}, y_{3})$ एक $\triangle ABC$ के शीर्ष हैं।
$(i)$ हम जानते हैं कि माध्यिका रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करती है,अर्थात $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
$\therefore BC$ के मध्य-बिंदु के निर्देशांक $= \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$\Rightarrow D = \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$(ii)$ मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $P(x, y)$,$A(x_{1}, y_{1})$ और $D\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$ को जोड़ने वाली रेखा को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र $\left(\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$P = \left[\frac{2\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{1})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{1})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iii)$ इसी प्रकार,माध्यिका $BE$ के लिए,$E$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $E = \left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$.
बिंदु $Q$,$BE$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$Q = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{2})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{2})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
माध्यिका $CF$ के लिए,$F$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $F = \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$.
बिंदु $R$,$CF$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$R = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) + 1(x_{3})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) + 1(y_{3})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iv)$ त्रिभुज का केंद्रक वह बिंदु है जहाँ सभी माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि $P, Q,$ और $R$ सभी एक ही बिंदु हैं,इसलिए केंद्रक के निर्देशांक $\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$ हैं।