$p$ के उन मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण $|\ln x| - px = 0$ के तीन भिन्न मूल हैं।

मान लीजिए $f:R \to R$ एक सतत अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(2) = 6$ और $f'(2) = \frac{1}{48}$ है। यदि $\int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt = (x - 2)g(x)$ है,तो $\lim_{x \to 2} g(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ एक बिंदु है जो $f(x)$ के ग्राफ पर स्थित है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन बाकी हर जगह $f''(x)$ ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दिए गए हैं:
$f'(x)$ चिह्न चार्ट:
- $x < -5$ के लिए,$f'(x) > 0$
- $-5 < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$
- $2 < x < 4$ के लिए,$f'(x) > 0$
- $x > 4$ के लिए,$f'(x) < 0$
$y = f(x)$ के संभावित ग्राफ से,हम कह सकते हैं कि:

मान लीजिए $f(x)$,$[0, \infty)$ पर एक गैर-ऋणात्मक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(0)=0$ और सभी $x>0$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 2 f(x)$ है। तो,$[0, \infty)$ पर:

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-1, 1)$ पर परिभाषित वास्तविक मान वाले फलन हैं,इस प्रकार कि $g^{\prime \prime}(x)$ सतत है,$g(0) \neq 0$,$g^{\prime}(0) = 0$,$g^{\prime \prime}(0) \neq 0$,और $f(x) = g(x) \sin x$.
$\text{कथन}-1$: $\lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = f^{\prime \prime}(0)$.
$\text{कथन}-2$: $f^{\prime}(0) = g(0)$.

मान लीजिए $f(x)$,$[-2, 2]$ में इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} \max(4 - x^2, 1 + x^2), & -2 < x < 0 \\ \min(4 - x^2, 1 + x^2), & 0 < x < 2 \end{cases}$
तब $f(x)$: