पृथ्वी की सतह पर सौर स्थिरांक $S$ है। सूर्य से लगभग $5.3 \, AU$ दूर स्थित किसी अन्य ग्रह की सतह पर इसका मान क्या होगा?

उपग्रह को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से पलायन करने के लिए आवश्यक $K.E.$ और उपग्रह को पृथ्वी के वायुमंडल के ठीक ऊपर एक वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक $K.E.$ का अनुपात क्या है?

कणों की एक गोलीय सममित गुरुत्वाकर्षण प्रणाली का द्रव्यमान घनत्व $\rho = \begin{cases} \rho_0 & \text{के लिए } r \leq R \\ 0 & \text{के लिए } r > R \end{cases}$ है,जहाँ $\rho_0$ एक स्थिरांक है। एक परीक्षण द्रव्यमान कणों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव में वृत्तातीय गति कर सकता है। प्रणाली के केंद्र से दूरी $r$ $(0 < r < \infty)$ के फलन के रूप में इसकी गति $V$ को किसके द्वारा दर्शाया गया है?

एक सर्पिल आकाशगंगा को $z=0$ पर स्थित समान सतह द्रव्यमान घनत्व वाली एक अत्यंत पतली डिस्क के रूप में माना जा सकता है। दो तारे $A$ और $B$ क्रमशः $2z_{0}$ और $z_{0}$ (जहाँ $z_{0} \ll$ डिस्क का त्रिज्यीय विस्तार) की ऊँचाई से विरामावस्था से शुरू करते हैं और डिस्क की ओर गिरते हैं,दूसरी तरफ पार करते हैं और आवर्ती दोलन करते हैं। $A$ और $B$ के आवर्तकालों का अनुपात है

दो पिंड,प्रत्येक का द्रव्यमान $M$ है,उन्हें $2L$ की दूरी पर स्थिर रखा गया है। $m$ द्रव्यमान के एक कण को उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के मध्य-बिंदु से,उस रेखा के लंबवत प्रक्षेपित किया जाता है। गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ है। सही कथन है/हैं:
$(a)$ दो पिंडों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए $m$ द्रव्यमान का न्यूनतम प्रारंभिक वेग $4 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ है
$(b)$ दो पिंडों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए $m$ द्रव्यमान का न्यूनतम प्रारंभिक वेग $2 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ है
$(c)$ दो पिंडों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए $m$ द्रव्यमान का न्यूनतम प्रारंभिक वेग $\sqrt{\frac{2GM}{L}}$ है
$(d)$ $m$ द्रव्यमान की ऊर्जा स्थिर रहती है

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(a)$ सूर्य के चारों ओर मंगल ग्रह का परिक्रमण काल,बुध ग्रह के परिक्रमण काल का $8$ गुना है। यदि सूर्य से बुध की दूरी $5.79 \times 10^{10} \, m$ है,तो सूर्य से मंगल की दूरी लगभग ....... है।
$(b)$ यदि पृथ्वी पर किसी वस्तु का द्रव्यमान $m \, kg$ है,तो चंद्रमा पर उसी वस्तु का द्रव्यमान ........... होगा।
$(c)$ पृथ्वी की सतह से भू-स्थिर उपग्रह की ऊँचाई लगभग ........ है।
$(d)$ यदि $m_1 = m_2 = 1 \, kg$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच की दूरी $1 \, mm$ है,तो उनके बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का मान ........... होगा। $[G = 6.67 \times 10^{-11} \, SI \text{ मात्रक}]$