એક વિદ્યાલયના વિદ્યાર્થીઓને કાર્ડબોર્ડનો ઉપયોગ કરીને પાયાવાળા નળાકાર આકારના પેનહોલ્ડર બનાવવા અને સજાવવાની સ્પર્ધામાં ભાગ લેવા માટે કહેવામાં આવ્યું હતું. દરેક પેનહોલ્ડરની ત્રિજ્યા $3 \,cm$ અને ઊંચાઈ $10.5 \,cm$ રાખવાની હતી. વિદ્યાલયે સ્પર્ધકોને કાર્ડબોર્ડ પૂરું પાડવાનું હતું. જો $35$ સ્પર્ધકો હોય,તો સ્પર્ધા માટે કેટલું કાર્ડબોર્ડ ખરીદવું પડે ($,cm^2$ માં)? $\left[\text{ધારો કે } \pi = \frac{22}{7}\right]$

એક ઘરની આગળની કમ્પાઉન્ડ વોલને $21 \, cm$ વ્યાસ ધરાવતા લાકડાના ગોળાઓ વડે શણગારવામાં આવી છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ નાના ટેકા (supports) પર મૂકવામાં આવ્યા છે. આ હેતુ માટે આવા આઠ ગોળાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે,અને તેમને સિલ્વર રંગ કરવાનો છે. દરેક ટેકો $1.5 \, cm$ ત્રિજ્યા અને $7 \, cm$ ઊંચાઈ ધરાવતો નળાકાર છે અને તેને કાળો રંગ કરવાનો છે. જો સિલ્વર રંગનો ખર્ચ $25$ પૈસા પ્રતિ $cm^2$ અને કાળા રંગનો ખર્ચ $5$ પૈસા પ્રતિ $cm^2$ હોય,તો જરૂરી રંગનો કુલ ખર્ચ શોધો.

જો $V$ એ $a, b, c$ પરિમાણો ધરાવતા લંબઘનનું ઘનફળ હોય અને $S$ તેનું કુલ પૃષ્ઠફળ હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{1}{V} = \frac{2}{S} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$.

$50 \, cm \times 40 \, cm \times 30 \, cm$ માપ ધરાવતા લંબઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ શોધો. ($cm^2$ માં)

એક સોફ્ટ ડ્રિંક બે પેકમાં ઉપલબ્ધ છે: $(i)$ $5 \, cm$ લંબાઈ અને $4 \, cm$ પહોળાઈના લંબચોરસ પાયાવાળું અને $15 \, cm$ ઊંચાઈ ધરાવતું ટીનનું કેન,અને $(ii)$ $7 \, cm$ વ્યાસ અને $10 \, cm$ ઊંચાઈ ધરાવતા વર્તુળાકાર પાયાવાળું પ્લાસ્ટિકનું નળાકાર. કયા પાત્રની ક્ષમતા વધુ છે અને કેટલી ($, cm^3$ માં)?

જો નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $94.2 \, cm^2$ હોય અને તેની ઊંચાઈ $5 \, cm$ હોય,તો તેનું ઘનફળ શોધો. ($\pi = 3.14$ નો ઉપયોગ કરો) ($, cm^3$ માં)