योग $1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + \dots + n(n!)$ किसके बराबर है?

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum\limits_{r = 1}^\infty {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{3}{{{r^2} - r + 9}}} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S_k, k=1, 2, \ldots, 100$,उस अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग है जिसका प्रथम पद $\frac{k-1}{k!}$ है और सार्व अनुपात $\frac{1}{k}$ है। तो $\frac{100^2}{100!} + \sum_{k=1}^{100} |(k^2 - 3k + 1) S_k|$ का मान क्या है?

$\frac{1}{3 \times 7} + \frac{1}{7 \times 11} + \frac{1}{11 \times 15} + \ldots$ $50$ पदों तक $=$

$\sum\limits_{r = 1}^{100} {\frac{{\tan \,{2^{r - 1}}}}{{\cos \,{2^r}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।