શ્રેણી $2 \times 1 \times {}^{20}C_4 - 3 \times 2 \times {}^{20}C_5 + 4 \times 3 \times {}^{20}C_6 - 5 \times 4 \times {}^{20}C_7 + \dots + 18 \times 17 \times {}^{20}C_{20}$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

અઋણ પૂર્ણાંકો $s$ અને $r$ માટે,ધારો કે $\binom{s}{r} = \begin{cases} \frac{s!}{r!(s-r)!} & \text{જો } r \leq s \\ 0 & \text{જો } r > s \end{cases}$. ધન પૂર્ણાંકો $m$ અને $n$ માટે,ધારો કે $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}}$,જ્યાં કોઈપણ અઋણ પૂર્ણાંક $p$ માટે,$f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $g(m, n) = g(n, m)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(B)$ $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2g(m, n)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(D)$ $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે

જો $n$ એક એકી ધન પૂર્ણાંક હોય અને $(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ હોય,તો $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો $(1 + x) (1 + x + x^2) (1 + x + x^2 + x^3) \dots (1 + x + x^2 + \dots + x^n) \equiv a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_mx^m$ હોય,તો $\sum_{r=0}^m a_r$ ની કિંમત કેટલી થાય?

સંખ્યા $(512)^3 - (253)^3 - (259)^3$ ના ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $R=(5 \sqrt{5}+11)^{2 n+1}$ અને $f=R-[R]$,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે,તો $R f=$