શ્રેણી sumlimits_{r = 0}^n {(-1)^r , ^nC_r le | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ શ્રેણી $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \sum\limits_{k = 1}^m \frac{(2^k - 1)^r}{2^{kr}} \right)}$ છે.સરવાળાનો ક્રમ બદલતા,આપણને

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^{mn} - 1}{2^{mn}(2^n - 1)}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ શ્રેણી $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \sum\limits_{k = 1}^m \frac{(2^k - 1)^r}{2^{kr}} \right)}$ છે.સરવાળાનો ક્રમ બદલતા,આપણને મળે છે:$\sum\limits_{k = 1}^m \sum\limits_{r = 0}^n {^nC_r (-1)^r \left( \frac{2^k - 1}{2^k} \right)^r}$.દ્વિપદી પ્રમેય $\sum\limits_{r=0}^n {^nC_r x^r = (1+x)^n}$ નો ઉપયોગ કરતા:$= \sum\limits_{k = 1}^m \left( 1 - \frac{2^k - 1}{2^k} \right)^n$.$= \sum\limits_{k = 1}^m \left( \frac{2^k - 2^k + 1}{2^k} \right)^n = \sum\limits_{k = 1}^m \left( \frac{1}{2^k} \right)^n = \sum\limits_{k = 1}^m \frac{1}{2^{nk}}$.આ $m$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{2^n}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2^n}$ છે.સરવાળો $S_m = a \frac{1 - r^m}{1 - r} = \frac{1}{2^n} \frac{1 - (1/2^n)^m}{1 - 1/2^n} = \frac{2^{nm} - 1}{2^{nm}(2^n - 1)}$ છે.

શ્રેણી $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \frac{1}{2^r} + \frac{3^r}{2^{2r}} + \frac{7^r}{2^{3r}} + \frac{15^r}{2^{4r}} + \dots + m \text{ પદો} \right)}$ નો સરવાળો શોધો.

Similar Questions

જો $(1+x)^{p}(1-x)^{q}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ અને $x^{2}$ ના સહગુણકો,જ્યાં $p, q \leq 15$,અનુક્રમે $-3$ અને $-5$ હોય,તો $x^{3}$ નો સહગુણક $............$ છે.

જો $(1 + x + x^2)^n$ ના વિસ્તરણમાં $a_r$ એ $x^r$ નો સહગુણક હોય,તો $a_1 - 2a_2 + 3a_3 - \dots - 2n\,a_{2n} = $

ધારો કે $a > b > 0$ અને $f(n) = a^{1/n} - b^{1/n}$, $J(n) = (a - b)^{1/n}$ તમામ $n \geq 2$ માટે. તો:

$(1 - x)^5(1 + x + x^2 + x^3)^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^{13}$ નો સહગુણક શોધો :-

જો $r = 0, 1, 2, \dots, 2016$ માટે $T_r = ^{2016}C_r x^{2016-r}$ હોય,તો $(T_0 - T_2 + T_4 - \dots + T_{2016})^2 + (T_1 - T_3 + T_5 - \dots - T_{2015})^2$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module