श्रेणी frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} + fr | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{2r+1}{1^2 + 2^2 + \dots + r^2}$ द्वारा दिया जाता है।प्रथम $r$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र $\sum

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$\frac{100}{17}$

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(A) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{2r+1}{1^2 + 2^2 + \dots + r^2}$ द्वारा दिया जाता है।प्रथम $r$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^r k^2 = \frac{r(r+1)(2r+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$T_r = \frac{2r+1}{\frac{r(r+1)(2r+1)}{6}} = \frac{6(2r+1)}{r(r+1)(2r+1)} = \frac{6}{r(r+1)}$.आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर,$T_r = 6 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} ight)$.$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = 6 \sum_{r=1}^n \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} ight)$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) ight] = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} ight) = \frac{6n}{n+1}$.$n = 50$ के लिए,$S_{50} = \frac{6 	imes 50}{50+1} = \frac{300}{51} = \frac{100}{17}$.

श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ के $50$ पदों का योग क्या है?

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श्रेणी $\frac{2}{3} + \frac{8}{9} + \frac{26}{27} + \frac{80}{81} + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

यदि ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ तथा ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ समान सार्व अनुपात के साथ गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में हैं,तो बिंदु $({x_1}, {y_1}), ({x_2}, {y_2})$ और $({x_3}, {y_3})$:

मान लीजिए कि अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2n}$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है। तो $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 - a_4^2 + \dots + a_{2n - 1}^2 - a_{2n}^2 = $

यदि $A_1, A_2$ दो $\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{24}$ के बीच के समांतर माध्य हैं,तो उनके मान ज्ञात कीजिए।

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