3-अंकीय ऐसी कुल कितनी संख्याएँ हैं जिनमें प्र | vedclass

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Question

(A) माना $3$-अंकीय संख्या $abc$ है,जहाँ $a$ सैकड़े का अंक,$b$ दहाई का अंक और $c$ इकाई का अंक है। दी गई शर्त $a + b + c = 10$ है,जहाँ $1 \leq a \leq 9$

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$54$

Vedclass · Answer

(A) माना $3$-अंकीय संख्या $abc$ है,जहाँ $a$ सैकड़े का अंक,$b$ दहाई का अंक और $c$ इकाई का अंक है। दी गई शर्त $a + b + c = 10$ है,जहाँ $1 \leq a \leq 9$ और $0 \leq b, c \leq 9$ है। माना $a' = a - 1$,तो $a = a' + 1$ है। समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(a' + 1) + b + c = 10 \Rightarrow a' + b + c = 9$,जहाँ $a', b, c \geq 0$ है। अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $^{n+r-1}C_{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=9$ और $r=3$ है: $^{9+3-1}C_{3-1} = ^{11}C_2 = \frac{11 	imes 10}{2} = 55$ है। हालाँकि,हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ कोई भी अंक $9$ से अधिक हो। चूँकि $a = a' + 1$ है,यदि $a' = 9$ है,तो $a = 10$ होगा,जो एक अंक के लिए संभव नहीं है। यह हल $(a', b, c) = (9, 0, 0)$ के अनुरूप है,जो $a = 10, b = 0, c = 0$ देता है। अतः,हम इस $1$ अमान्य स्थिति को घटाते हैं: $55 - 1 = 54$ है। इसलिए,ऐसी $3$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $54$ है।

$3$-अंकीय ऐसी कुल कितनी संख्याएँ हैं जिनमें प्रत्येक के अंकों का योग $10$ है?

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