lim_{n rightarrow infty} frac{1}{n^3} sum_{k= | vedclass

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Question

(C) हमें दिया गया सीमा मान है: $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$.चूंकि $x$,$k$ से स्वतंत्र है,हम इसे योगफल से बाहर ले स

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$\frac{x}{3}$

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(C) हमें दिया गया सीमा मान है: $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$.चूंकि $x$,$k$ से स्वतंत्र है,हम इसे योगफल से बाहर ले सकते हैं: $x \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2$.निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(t) dt$.यहाँ $f(t) = t^2$ है,इसलिए व्यंजक होगा: $x \int_0^1 t^2 dt$.समाकलन करने पर: $x \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = x \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{x}{3}$.

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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