lim _{n rightarrow infty} left[ frac{n}{n^{2} | vedclass

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Question

(B) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+r^{2}}$ है।अंश और हर को $n^{2}$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता ह

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$\frac{\pi}{4}$

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(B) दी गई सीमा $L = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+r^{2}}$ है।अंश और हर को $n^{2}$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:$L = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1/n}{1+(r/n)^{2}}$.निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, $\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int_{0}^{1} f(x) dx$, जहाँ $f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$ है।अतः, $L = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} dx$.समाकल का मान निकालने पर, $L = [	an ^{-1} x]_{0}^{1}$.$L = 	an ^{-1}(1) - 	an ^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^{2}+1^{2}} + \frac{n}{n^{2}+2^{2}} + \ldots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \right]$ का मान है

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निम्नलिखित कथनों में से:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

$\mathop {Limit}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left[ 1 + \sqrt {\frac{n}{n + 1}} + \sqrt {\frac{n}{n + 2}} + \sqrt {\frac{n}{n + 3}} + \dots + \sqrt {\frac{n}{n + 3(n - 1)}} \right]$ का मान किसके बराबर है?

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{n+m}+\frac{1}{n+2 m}+\frac{1}{n+3 m}+\ldots+\frac{1}{n+n m}\right\}=$

धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f(n) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + (9-4r)n - 3n^2}{4rn + 3n^2}$ परिभाषित करें। तो,$\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)$ का मान किसके बराबर है?

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