int_{0}^{20pi} (sin^4 x + cos^4 x) dx का मान | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2

Vedclass · Accepted Answer

$15\pi$

Vedclass · Answer

(C) हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.सर्वसमिका $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर, हमें $1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} ight) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$ प्राप्त होता है।अब, समाकलन $I = \int_{0}^{20\pi} (\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x) dx$ है।$I = \int_{0}^{20\pi} \frac{3}{4} dx + \int_{0}^{20\pi} \frac{1}{4} \cos 4x dx$।चूंकि $\cos(nx)$ का एक पूर्ण आवर्तकाल पर समाकलन $0$ होता है, इसलिए $\int_{0}^{20\pi} \frac{1}{4} \cos 4x dx = 0$ है।अतः, $I = \frac{3}{4} [x]_{0}^{20\pi} = \frac{3}{4} 	imes 20\pi = 15\pi$।

$\int_{0}^{20\pi} (\sin^4 x + \cos^4 x) dx$ का मान किसके बराबर है?

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