int_0^1 {{{tan }^{ - 1}}left( {frac{{2x - 1}} | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^1 {{{	an }^{ - 1}}} \left( {\frac{{2x - 1}}{{1 + x - {x^2}}}} ight)\,dx$.हम $	an^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:

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(B) माना $I = \int_0^1 {{{	an }^{ - 1}}} \left( {\frac{{2x - 1}}{{1 + x - {x^2}}}} ight)\,dx$.हम $	an^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\frac{2x - 1}{1 + x - x^2} = \frac{x + (x - 1)}{1 - x(x - 1)}$.सर्वसमिका $	an^{-1}(A) + 	an^{-1}(B) = 	an^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}ight)$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^1 (	an^{-1}x + 	an^{-1}(x - 1)) \,dx$.अब,समाकलन को अलग करें:$I = \int_0^1 	an^{-1}x \,dx + \int_0^1 	an^{-1}(x - 1) \,dx$.दूसरे समाकलन के लिए गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a - x) \,dx$ का उपयोग करने पर:माना $J = \int_0^1 	an^{-1}(x - 1) \,dx$. $x = 1 - t$ और $dx = -dt$ प्रतिस्थापित करने पर:$J = \int_1^0 	an^{-1}(1 - t - 1) \,(-dt) = \int_0^1 	an^{-1}(-t) \,dt = -\int_0^1 	an^{-1}t \,dt$.अतः,$I = \int_0^1 	an^{-1}x \,dx - \int_0^1 	an^{-1}x \,dx = 0$.

$\int_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{2x - 1}}{{1 + x - {x^2}}}} \right)} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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