int_{e^{-1}}^{e^2} left| frac{log_e x}{x} rig | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{e^{-1}}^{e^2} \left| \frac{\log_e x}{x} \right| dx$. चूँकि $x \in [e^{-1}, 1)$ के लिए $\log_e x < 0$ और $x \in [1, e^2]$ के लिए $\

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$\frac{5}{2}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{e^{-1}}^{e^2} \left| \frac{\log_e x}{x} \right| dx$. चूँकि $x \in [e^{-1}, 1)$ के लिए $\log_e x $I = \int_{e^{-1}}^{1} -\frac{\log_e x}{x} dx + \int_{1}^{e^2} \frac{\log_e x}{x} dx$. माना $z = \log_e x$,तब $dz = \frac{1}{x} dx$. जब $x = e^{-1}, z = -1$. जब $x = 1, z = 0$. जब $x = e^2, z = 2$. $I = \int_{-1}^{0} -z dz + \int_{0}^{2} z dz$. $I = \left[ -\frac{z^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{0}^{2}$. $I = (0 - (-1/2)) + (4/2 - 0) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

$\int_{e^{-1}}^{e^2} \left| \frac{\log_e x}{x} \right| dx$ का मान है

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$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4 x} dx = $ . . . . . . .

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यदि $F(x) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$,जहाँ $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ है,तो $F(e) = $

$\int_0^{\pi / 2} \frac{200 \sin x+100 \cos x}{\sin x+\cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए। ($\pi$ में)

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