$\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{n}{{1 + {n^2}\left( {{n^2} - 2} \right)}}} $ ની કિંમત શોધો.

$\sum\limits_{r = 1}^{100} {\frac{{\tan \,{2^{r - 1}}}}{{\cos \,{2^r}}}} $ ની કિંમત શોધો.

અનંત શ્રેણી ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{{1 - {1^2} + {1^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{{1 - {2^2} + {2^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{6}{{1 - {3^2} + {3^4}}}} \right) + \dots$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણીનો સરવાળો શોધો: $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n!$

જો $t_{n} = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$,$n \in N$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
વિધાન $(A)$ : $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \ldots + \frac{1}{t_{2003}} = \frac{2003}{3009}$
કારણ $(R)$ : $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \ldots + \frac{1}{t_{n}} = \frac{4n}{3(n+3)}$

જો શ્રેણી $\frac{1}{1+1^4 \cdot 4} + \frac{2}{1+2^4 \cdot 4} + \frac{3}{1+3^4 \cdot 4} + \frac{4}{1+4^4 \cdot 4} + \dots$ ના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ હોય, જ્યાં $\text{gcd}(m,n) = 1$, તો $m+n$ ની કિંમત શોધો: