निश्चित समाकलन $\int\limits_0^{\sqrt {\ln \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} } {\cos \left( {{e^{{x^2}}}} \right)} \cdot 2x {e^{{x^2}}}dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 \frac{dx}{(3x+2)+\sqrt{3x+2}} = $ . . . . . . .

निम्नलिखित समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{3} 2 t \cos 2 t \,d t$

मान लीजिए $2^{1-a} + 2^{1+a}$, $f(a)$, $3^a + 3^{-a}$ $A$.$P$. में हैं और $\alpha$ $f(a)$ का न्यूनतम मान है। तो समाकल $\int_{\log_e(\alpha-1)}^{\log_e(\alpha)} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}}$ का मान है:

मान लीजिए $y=f(x)$ अंतराल $(-5,5)$ में तीन बार अवकलनीय फलन है। मान लीजिए वक्र $y=f(x)$ के बिंदुओं $(1, f(1))$ और $(3, f(3))$ पर स्पर्श रेखाएं धनात्मक $x$-अक्ष के साथ क्रमशः $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती हैं। यदि $27 \int_1^3\left(\left(f^{\prime}(t)\right)^2+1\right) f^{\prime \prime}(t) d t=\alpha+\beta \sqrt{3}$,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ पूर्णांक हैं,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि $f$ हर जगह निरंतर है,तो $\frac{1}{c}\int_{ac}^{bc} {f\left( {\frac{x}{c}} \right)} \,dx = $