सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-x & 1 \\ 1 & 1 & 1+y \end{array} \right|$ का मान है

$\lambda$ के उन भिन्न मानों का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण निकाय
$(\lambda-1) x+(3 \lambda+1) y+2 \lambda z=0$
$(\lambda-1) x+(4 \lambda-2) y+(\lambda+3) z=0$
$2 x+(3 \lambda+1) y+3(\lambda-1) z=0$
के अशून्य हल हैं।

मान लीजिए $S$,$\theta \in [-\pi, \pi]$ के उन सभी मानों का समुच्चय है जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय
$x + y + \sqrt{3} z = 0$
$-x + (\tan \theta) y + \sqrt{7} z = 0$
$x + y + (\tan \theta) z = 0$
का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है। तो $\frac{120}{\pi} \sum_{\theta \in S} \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $[.]$,$\{.\}$ और $\operatorname{sgn}(.)$ क्रमशः महत्तम पूर्णांक फलन,भिन्नात्मक भाग फलन और सिग्नम फलन को दर्शाते हैं। तो सारणिक $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {[ \pi ]} & {\operatorname{amp}(1 + i\sqrt 3 )} & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ {\operatorname{sgn} (\cot^{ - 1}x)} & 1 & {\{ \pi \} } \end{array}} \right|$ का मान है:

मूलबिंदु $(0, 0)$ को बिंदु $(-4, 5)$ से जोड़ने वाली रेखा का समीकरण क्या है?

समीकरण $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 20 \\ 1 & -2 & 5 \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$ के मूल हैं