उस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके कार्तीय समीकरण $y=2$ और $4x-3z+5=0$ हैं।

मान लीजिए कि बिंदुओं $P(1, -2, 3)$ और $Q(5, -4, 7)$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित वह बिंदु,जो मूल बिंदु से अधिक दूर है और बिंदु $P$ से $9$ इकाई की दूरी पर है,$(\alpha, \beta, \gamma)$ है। तो $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}), \lambda \in R$ और $\overrightarrow{r} = \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}), \mu \in R$ को दर्शाती हैं। यदि $L_3$ एक ऐसी रेखा है जो $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है और दोनों को काटती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प $L_3$ का वर्णन करता है?
$(1) \overrightarrow{r} = \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(2) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(3) \overrightarrow{r} = t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(4) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$

रेखाओं $\frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{8}$ और $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{1}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P$ और $Q$ को $\vec{OP} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{OQ} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ द्वारा दिया गया है। सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ के अनुदिश एक रेखा बिंदु $P$ से गुजरती है और सदिश $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$ के अनुदिश दूसरी रेखा बिंदु $Q$ से गुजरती है। यदि सदिश $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के अनुदिश एक रेखा,सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाली दोनों रेखाओं को क्रमशः $L$ और $M$ पर काटती है,तो $\vec{PM} =$

रेखा $\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}$ के समांतर और बिंदु $(1, -3, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।