આ પ્રશ્નમાં વિધાન $1$ અને વિધાન $2$ આપેલ છે. વિધાનો પછી આપેલા ચાર વિકલ્પોમાંથી,જે બે વિધાનોનું શ્રેષ્ઠ વર્ણન કરે છે તે પસંદ કરો.
વિધાન $1$ : જ્યારે કોઈ અક્ષ પર કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ફરતા પદાર્થની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ વધે છે,ત્યારે તેનો કોણીય વેગમાન $L$ બદલાતું નથી,પરંતુ જો કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગુ ન કરવામાં આવે તો ગતિ ઊર્જા $K$ વધે છે.
વિધાન $2$ : $L = I\omega$ અને પરિભ્રમણની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{L^2}{2I}$.

દ્રઢ પદાર્થની સામાન્ય ગતિને $(i)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની કોઈ અક્ષની આસપાસની ગતિ અને $(ii)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન અક્ષની આસપાસની ગતિના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય. આ અક્ષો સ્થિર હોવી જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક પાતળી સમાન તકતીને તેના પરિઘ પર એક દળરહિત લાકડી સાથે આડી રીતે વેલ્ડિંગ (દ્રઢ રીતે જોડાયેલ) કરેલ છે. જ્યારે તકતી-લાકડી તંત્રને આડા ઘર્ષણરહિત સમતલ પર ઉદગમબિંદુની આસપાસ $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ ક્ષણે ગતિને $(i)$ તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની $z$-અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ અને $(ii)$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન ઉભી અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ (જે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના બદલાયેલા અભિગમ પરથી જોઈ શકાય છે) ના સંયોજન તરીકે લઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં બંને ગતિઓની કોણીય ઝડપ $\omega$ સમાન છે. હવે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે સમાન તંત્રો ધ્યાનમાં લો: કિસ્સો $(a)$ તકતીનો ચહેરો ઉભો અને $x-z$ સમતલને સમાંતર છે; કિસ્સો $(b)$ તકતીનો ચહેરો $x-y$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે અને તેનો આડો વ્યાસ $x$-અક્ષને સમાંતર છે. બંને કિસ્સાઓમાં,તકતીને બિંદુ $P$ પર વેલ્ડિંગ કરવામાં આવે છે,અને તંત્રોને $z$-અક્ષની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ફેરવવામાં આવે છે.
$1.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) ની આસપાસની કોણીય ઝડપ અંગે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(D)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\omega$ છે.
$2.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) વિશે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ $(a)$ અને $(b)$ માટે ઉભી છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલમાં રહેલી છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે આડી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
$(D)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

$M$ દળ અને $a$ લંબાઈનો એક પાતળો સળિયો બિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી સ્થિર શિરોલંબ ધરીની આસપાસ સમક્ષિતિજ સમતલમાં મુક્તપણે ફરી શકે છે. $M$ દળ અને $a/4$ ત્રિજ્યાની એક પાતળી વર્તુળાકાર તકતી આ સળિયા પર એવી રીતે જડેલી છે કે તેનું કેન્દ્ર મુક્ત છેડાથી $a/4$ અંતરે છે,જેથી તે તેની શિરોલંબ ધરીની આસપાસ મુક્તપણે ફરી શકે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે સળિયો અને તકતી બંને સમાન ઘનતા ધરાવે છે અને ગતિ દરમિયાન તે સમક્ષિતિજ રહે છે. એક બહારનો સ્થિર અવલોકનકાર સળિયાને $\Omega$ કોણીય વેગ સાથે અને તકતીને તેની શિરોલંબ ધરીની આસપાસ $4\Omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરતી જુએ છે. બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ છે. $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક ગોળો $l$ લંબાઈના હળવા સળિયા વડે $P$ બિંદુ સાથે જોડાયેલ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોળો વર્તુળાકાર ટ્રેક પર સરક્યા વિના ગબડે છે. તેને સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. જ્યારે સળિયો શિરોલંબ થાય ત્યારે $P$ ની સાપેક્ષે તંત્રનું કોણીય વેગમાન કેટલું હશે?

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ઘન ગોળાની તેની ભૌમિતિક અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. તેને પીગાળીને $r$ ત્રિજ્યા અને $t$ જાડાઈની તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. જો આ તકતીની તેની ધારને સ્પર્શતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા પણ $I$ હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.

$2 \, kg$ દળ અને $0.6 \, m$ લંબાઈનો એક સ્ટીલનો સળિયો ટેબલ પર તેના નીચેના છેડેથી શિરોલંબ રીતે જડેલો છે અને તે શિરોલંબ સમતલમાં મુક્તપણે ફરી શકે છે. ઉપરના છેડાને ધક્કો મારતા સળિયો ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડે છે. નીચેના છેડે જડવાને કારણે લાગતા ઘર્ષણને અવગણતા,જ્યારે સળિયો તેની સૌથી નીચી સ્થિતિમાંથી પસાર થાય ત્યારે તેના મુક્ત છેડાની ઝડપ $\ldots \ldots \ldots \ldots \, ms^{-1}$ હશે. ($g = 10 \, ms^{-2}$ લો)