3.5, cm त्रिज्या वाले तीन वृत्त इस प्रकार खीं | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि उनमें से प्रत्येक अन्य दो को स्पर्श करता है।मान लीजिए कि तीनों वृत्तों के केंद्र $A, B$ और $C$

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$1.967$

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(B) दिया गया है कि तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि उनमें से प्रत्येक अन्य दो को स्पर्श करता है।मान लीजिए कि तीनों वृत्तों के केंद्र $A, B$ और $C$ हैं। चूंकि प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $r = 3.5\, cm$ है,इसलिए किन्हीं भी दो स्पर्श करने वाले वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी $2r = 2 	imes 3.5 = 7\, cm$ है।अतः,$AB = BC = CA = 7\, cm$। यह $7\, cm$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज $	riangle ABC$ बनाता है।समबाहु त्रिभुज $	riangle ABC$ का क्षेत्रफल:$	ext{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} 	imes a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} 	imes (7)^{2} = \frac{49\sqrt{3}}{4} \approx \frac{49 	imes 1.732}{4} \approx 21.2176\, cm^{2}$।तीनों वृत्तों के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल में से त्रिभुज के अंदर स्थित तीन त्रिज्यखंडों (sectors) के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है। समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है।तीनों त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल $= 3 	imes \left( \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} 	imes \pi r^{2} ight) = 3 	imes \frac{1}{6} 	imes \pi 	imes (3.5)^{2} = \frac{1}{2} 	imes \frac{22}{7} 	imes 3.5 	imes 3.5 = 11 	imes 0.5 	imes 3.5 = 19.25\, cm^{2}$।इसलिए,वृत्तों के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $= 	riangle ABC$ का क्षेत्रफल - तीनों त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल$= 21.2176 - 19.25 = 1.9676\, cm^{2}$।तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,अभीष्ट क्षेत्रफल $1.967\, cm^{2}$ है।

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क्या यह कहना सत्य होगा कि $a \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त के परिगत एक वर्ग का परिमाप $8a \, cm$ है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

आकृति में दर्शाए गए छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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