प्रक्षेप्य गति में एक कण का प्रक्षेप पथ $y = x - \frac{x^2}{80}$ द्वारा दिया गया है। यहाँ, $x$ और $y$ मीटर में हैं। इस प्रक्षेप्य गति के लिए, $g = 10 \, m/s^2$ के साथ निम्नलिखित का मिलान करें।

$Column-I$	$Column-II$
$(A)$ प्रक्षेप्य कोण	$(p)$ $20 \, m$
$(B)$ $4 \, s$ के बाद क्षैतिज के साथ वेग का कोण	$(q)$ $80 \, m$
$(C)$ अधिकतम ऊँचाई	$(r)$ $45^{\circ}$
$(D)$ क्षैतिज परास	$(s)$ $\tan^{-1}(1/2)$

एक प्रक्षेप्य को क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर इस प्रकार प्रक्षेपित किया जाता है कि उसके प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $80\,m/s$ है। इसका उड्डयन काल $T$ है। $t=\frac{T}{4}$ पर इसके वेग का परिमाण लगभग $........\,m/s$ है।

एक कण वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है। किसी निश्चित क्षण पर कण का त्वरण और संवेग $\vec{a} = (4\hat{i} + 3\hat{j}) \, m/s^2$ और $\vec{P} = (8\hat{i} - 6\hat{j}) \, kg \cdot m/s$ हैं। कण की गति है:

समतल में द्विविमीय गति का अध्ययन स्थिति,वेग और त्वरण को कार्तीय निर्देशांकों में $\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}$ के रूप में व्यक्त करके किया जा सकता है,जहाँ $\hat{i}$ और $\hat{j}$ क्रमशः $x$ और $y$ दिशाओं में इकाई सदिश हैं और $A_{x}$ और $A_{y}$ $\vec{A}$ के संगत घटक हैं। गति का अध्ययन वृत्तीय ध्रुवीय निर्देशांकों में सदिशों को $\vec{A} = A_{r} \hat{r} + A_{\theta} \hat{\theta}$ के रूप में व्यक्त करके भी किया जा सकता है,जहाँ $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ और $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ उन दिशाओं में इकाई सदिश हैं जिनमें $r$ और $\theta$ बढ़ रहे हैं।
$(a)$ $\hat{i}$ और $\hat{j}$ को $\hat{r}$ और $\hat{\theta}$ के पदों में व्यक्त कीजिए।
$(b)$ दर्शाइए कि $\hat{r}$ और $\hat{\theta}$ दोनों इकाई सदिश हैं और एक-दूसरे के लंबवत हैं।
$(c)$ दर्शाइए कि $\frac{d}{dt}(\hat{r}) = \omega \hat{\theta}$,जहाँ $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ और $\frac{d}{dt}(\hat{\theta}) = -\omega \hat{r}$ है।
$(d)$ $\vec{r} = a\theta \hat{r}$ द्वारा दी गई सर्पिल गति करने वाले कण के लिए,जहाँ $a = 1$ (इकाई),$a$ की विमा ज्ञात कीजिए।
$(e)$ $(d)$ में वर्णित सर्पिल पथ पर गति करने वाले कण के लिए ध्रुवीय सदिश निरूपण में वेग और त्वरण ज्ञात कीजिए।

$2 \, kg$ द्रव्यमान की एक वस्तु को एक डोरी की सहायता से क्षैतिज वृत्त में $5$ चक्कर प्रति मिनट की गति से घुमाया जा रहा है। त्रिज्या को स्थिर रखते हुए डोरी में तनाव को दोगुना कर दिया जाता है। नई गति लगभग ....... $rpm$ होगी।

$100 \ m$ ऊँचे टॉवर के आधार से $200 \ m$ की दूरी पर स्थित एक बिंदु से एक शॉट इस प्रकार फायर किया जाता है कि वह टॉवर के ऊपर से गुजरता है। क्षैतिज के सापेक्ष शॉट की दिशा क्या है ($^{\circ}$ में)?