$4$ सफेद और $6$ काली गेंदों वाले एक थैले से एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के दो गेंदें निकाली जाती हैं। यदि दूसरी निकाली गई गेंद के काली होने की स्थिति में,पहली निकाली गई गेंद के काली होने की प्रायिकता $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए :

जनसंख्या का $25 \%$ धूम्रपान करने वाले हैं। धूम्रपान करने वाले व्यक्ति को धूम्रपान न करने वाले व्यक्ति की तुलना में फेफड़ों का कैंसर होने की संभावना $27$ गुना अधिक है। एक व्यक्ति को फेफड़ों के कैंसर का निदान किया जाता है और इस बात की संभावना कि यह व्यक्ति धूम्रपान करने वाला है,$\frac{k}{10}$ है। तो $k$ का मान $.............$ है।

एक थैले में $6$ गेंदें हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से दो गेंदें निकाली जाती हैं और दोनों काली पाई जाती हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि थैले में कम से कम $5$ काली गेंदें हैं?

यदि एक मशीन को सही ढंग से सेट किया जाता है,तो यह $90\%$ स्वीकार्य वस्तुएं बनाती है। यदि इसे गलत तरीके से सेट किया जाता है,तो यह केवल $40\%$ स्वीकार्य वस्तुएं बनाती है। पिछला अनुभव बताता है कि $80\%$ सेटअप सही ढंग से किए जाते हैं। यदि एक निश्चित सेटअप के बाद,मशीन $2$ स्वीकार्य वस्तुएं बनाती है,तो मशीन के सही ढंग से सेट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

एक विनिर्माण कंपनी में,तीन मशीनें $A$,$B$ और $C$ क्रमशः कुल उत्पादन का $20 \%$,$30 \%$ और $50 \%$ उत्पादन करती हैं। $A$,$B$ और $C$ से दोषपूर्ण उत्पाद क्रमशः $5 \%$,$3 \%$ और $2 \%$ हैं। यदि कंपनी द्वारा उत्पादित किसी वस्तु को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और वह दोषपूर्ण पाई जाती है,तो मशीन $B$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता क्या है?

एक निर्माता के पास तीन मशीन ऑपरेटर $A, B$ और $C$ हैं। पहला ऑपरेटर $A$ $1\%$ दोषपूर्ण वस्तुएं बनाता है,जबकि अन्य दो ऑपरेटर $B$ और $C$ क्रमशः $5\%$ और $7\%$ दोषपूर्ण वस्तुएं बनाते हैं। $A$ $50\%$ समय काम पर रहता है,$B$ $30\%$ समय काम पर रहता है और $C$ $20\%$ समय काम पर रहता है। यदि एक दोषपूर्ण वस्तु उत्पन्न होती है,तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह $A$ द्वारा बनाई गई थी ($/34$ में)?