दो रेखाएँ जिनके दिक्कोसाइन al + bm + cn = 0 औ | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि रेखाओं के दिक्कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।दिए गए समीकरण $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ हैं।पहले सम

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$\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$

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(A) मान लीजिए कि रेखाओं के दिक्कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।दिए गए समीकरण $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ हैं।पहले समीकरण से,$l = -\frac{bm + cn}{a}$। इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$fmn + gn(-\frac{bm + cn}{a}) + hm(-\frac{bm + cn}{a}) = 0$$afmn - bgnm - cgn^2 - bhm^2 - chmn = 0$$bhm^2 + (ch + bg - af)mn + cgn^2 = 0$$n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $bh(\frac{m}{n})^2 + (ch + bg - af)(\frac{m}{n}) + cg = 0$ प्राप्त होता है।मूलों का गुणनफल $\frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = \frac{cg}{bh}$ है।इसी प्रकार,$m$ को विलुप्त करने पर,हमें $ah(\frac{l}{n})^2 + (ch + af - bg)(\frac{l}{n}) + cf = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{cf}{ah}$।चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$।$n_1 n_2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} + \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} + 1 = 0$ प्राप्त होता है।गुणनफलों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{cf}{ah} + \frac{cg}{bh} + 1 = 0$।$c$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$ प्राप्त होता है।

दो रेखाएँ जिनके दिक्कोसाइन $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ द्वारा दिए गए हैं,वे एक-दूसरे के लंबवत हैं यदि .........

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रेखाएँ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{4}$ और $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{2} = \frac{z}{1}$ एक-दूसरे को किस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं?

रेखाओं $\frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-2}{-3}$ और $\frac{x+2}{2} = \frac{y-6}{4} = \frac{z-5}{-5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:

रेखाओं $\frac{x - 4}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1}$ और $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

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