$2x^3 - 5x^2 + 7$ को $(x - 2)$ से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?

मान लीजिए कि $a, b$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं। द्विघात समीकरण $a x^2+(a+b) x+b=0$ के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन अनिवार्य रूप से सत्य है?
$I$. इसका कम से कम एक ऋणात्मक मूल है।
$II$. इसका कम से कम एक धनात्मक मूल है।
$III$. इसके दोनों मूल वास्तविक हैं।

$ax^2 + bx + 1 = 0$ के रूप वाले उन समीकरणों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके मूल वास्तविक हैं,जहाँ $a, b \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।

समीकरण $\sqrt{3x^2+x+5} = x-3$ के हलों की संख्या है

मान लीजिए $p, q$ और $r$ वास्तविक संख्याएँ हैं $(p \ne q, r \ne 0)$ ताकि समीकरण $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$ के मूल परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं। तो इन मूलों के वर्गों का योग किसके बराबर है?

समीकरण $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ के मूलों को $h$ से कम किया जाता है ताकि रूपांतरित समीकरण में $x^2$ पद न हो। यदि ऐसे $h$ के मान $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो $12(\alpha-\beta)^2=$