निम्नलिखित में से कौन सा हमेशा सत्य नहीं है?

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Question

(D) यदि $a$ और $b$ एक दूसरे के लंबवत हैं, तो $a \cdot b = 0$. अब विचार करें, $|a+b|^{2} = (a+b) \cdot (a+b) = |a|^{2} + |b|^{2} + 2(a \cdot b) = |a|^{

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$|a+\lambda b| \geq |a|$ सभी $\lambda \in R$ के लिए यदि $a$, $b$ के समानांतर है

Vedclass · Answer

(D) यदि $a$ और $b$ एक दूसरे के लंबवत हैं, तो $a \cdot b = 0$. अब विचार करें, $|a+b|^{2} = (a+b) \cdot (a+b) = |a|^{2} + |b|^{2} + 2(a \cdot b) = |a|^{2} + |b|^{2}$. अतः, विकल्प $(a)$ हमेशा सत्य है। $(b)$ यदि $a$ और $b$ एक दूसरे के लंबवत हैं, तो $a \cdot b = 0$. अब विचार करें, $|a+\lambda b|^{2} = (a+\lambda b) \cdot (a+\lambda b) = |a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2} + 2\lambda(a \cdot b) = |a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2}$. चूंकि $\lambda^{2}|b|^{2} \geq 0$, इसलिए $|a+\lambda b| = \sqrt{|a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2}} \geq |a|$ सभी $\lambda \in R$ के लिए। अतः, विकल्प $(b)$ हमेशा सत्य है। $(c)$ विचार करें, $|a+b|^{2} + |a-b|^{2} = (a+b) \cdot (a+b) + (a-b) \cdot (a-b) = (|a|^{2} + |b|^{2} + 2a \cdot b) + (|a|^{2} + |b|^{2} - 2a \cdot b) = 2(|a|^{2} + |b|^{2})$. अतः, विकल्प $(c)$ हमेशा सत्य है। $(d)$ $a = -b$ और $b 
eq 0$ पर विचार करें। तब, $|a+\lambda b| = |-b + \lambda b| = |\lambda - 1||b|$. शर्त $|a+\lambda b| \geq |a|$ के सत्य होने के लिए, हमें $|\lambda - 1||b| \geq |-b| = |b|$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $|\lambda - 1| \geq 1$. यह सभी $\lambda \in R$ के लिए सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए, यदि $\lambda = 0.5$, तो $|0.5 - 1| = 0.5$, जो $1$ से बड़ा या बराबर नहीं है)। अतः, विकल्प $(d)$ हमेशा सत्य नहीं है।

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