$R$ પર નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સામ્ય સંબંધ (equivalence relation) છે?

ધારો કે $L$ એ સમતલની તમામ સીધી રેખાઓનો ગણ છે. સંબંધ $R$ એ $\alpha R\beta \Leftrightarrow \alpha \perp \beta$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $\alpha, \beta \in L$. તો $R$ એ

ધારો કે સંબંધ $R_1$ એ $R_1 = \{ (a, b) | a \ge b, a, b \in R \}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો $R_1$ એ:

ધારો કે $A = \{2, 3, 4, 5, \ldots, 30\}$ અને $\simeq$ એ $A \times A$ પરનો સામ્ય સંબંધ છે,જે $(a, b) \simeq (c, d)$ જો અને માત્ર જો $ad = bc$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો ક્રમયુક્ત જોડ $(4, 3)$ સાથે આ સામ્ય સંબંધનું પાલન કરતી ક્રમયુક્ત જોડોની સંખ્યા કેટલી થાય?

સાબિત કરો કે સમતલમાં આવેલા બિંદુઓના ગણ $A$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R = \{(P, Q) : \text{બિંદુ } P \text{ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ બિંદુ } Q \text{ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું જ છે}\}$ એ સામ્ય સંબંધ છે. વધુમાં,સાબિત કરો કે $P \neq (0, 0)$ સાથે સંબંધિત તમામ બિંદુઓનો ગણ એ ઉગમબિંદુને કેન્દ્ર તરીકે ધરાવતું અને $P$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ છે.

જો $A = \{x \in Z^+ : x < 10\}$ અને $x$ એ $3$ અથવા $4$ નો ગુણક હોય,જ્યાં $Z^+$ એ ધન પૂર્ણાંકોનો ગણ છે,તો $A$ પરના સંમિત સંબંધોની કુલ સંખ્યા કેટલી થાય?