int_{1/2}^{2} frac{1}{x} sin left( x - frac{1 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{1/2}^{2} \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right) dx$. गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f\left( \frac{ab}{x} \r

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(A) माना $I = \int_{1/2}^{2} \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} ight) dx$. गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f\left( \frac{ab}{x} ight) \frac{ab}{x^2} dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1/2$ और $b = 2$,हमें $ab = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int_{1/2}^{2} \frac{1}{(1/x)} \sin \left( \frac{1}{x} - x ight) \cdot \frac{1}{x^2} dx$. $I = \int_{1/2}^{2} x \sin \left( -\left( x - \frac{1}{x} ight) ight) \cdot \frac{1}{x^2} dx$. चूँकि $\sin(-	heta) = -\sin(	heta)$,हमें $I = -\int_{1/2}^{2} \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} ight) dx$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$I = -I$,जिसका अर्थ है कि $2I = 0$,इसलिए $I = 0$.

$\int_{1/2}^{2} \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right) dx = $

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