f : R to R को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के एक-एक होने के लिए,फलन को सख्ती से एकदिष्ट (strictly monotonic) होना चाहिए या दोनों भागों के परिसर (range) अलग-अलग होने चाहिए।स्थिति $1$:

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$( - \infty ,0)$

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(A) $f(x)$ के एक-एक होने के लिए,फलन को सख्ती से एकदिष्ट (strictly monotonic) होना चाहिए या दोनों भागों के परिसर (range) अलग-अलग होने चाहिए।स्थिति $1$: $x \leq 0$ के लिए,$f(x) = x^2 + 2mx - 1$। इस परवलय का शीर्ष $x = -m$ पर है। $(-\infty, 0]$ पर फलन के एक-एक होने के लिए,शीर्ष $x \geq 0$ पर होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-m \geq 0$,यानी $m \leq 0$।स्थिति $2$: $x > 0$ के लिए,$f(x) = mx - 1$। इसके एक-एक होने के लिए,$m \geq 0$ होना चाहिए। यदि $m > 0$ है,तो $x > 0$ के लिए $f(x)$ का परिसर $(-1, \infty)$ है। $x \leq 0$ के लिए $f(x)$ का परिसर $[-1-m^2, \infty)$ है। ये परिसर एक-दूसरे पर अतिव्याप्त (overlap) होते हैं,इसलिए फलन एक-एक नहीं होगा।स्थिति $3$: यदि $m  0$ के लिए $f(x) = mx - 1$ एक घटता हुआ फलन है जिसका परिसर $(-\infty, -1)$ है। $x \leq 0$ के लिए,$f(x) = x^2 + 2mx - 1$ अंतराल $(-\infty, -m]$ पर घटता है। चूँकि $-m > 0$,फलन $(-\infty, 0]$ पर घटता है। $x \leq 0$ के लिए परिसर $[-1-m^2, \infty)$ है। चूँकि $m अतः,$m \in (-\infty, 0)$।

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