sumlimits_{n = 1}^infty {sumlimits_{k = 1}^{ | vedclass

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Question

(B) माना $S = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^{n+k}}$ है।हम योग को $S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^k}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac {4}{9}$

Vedclass · Answer

(B) माना $S = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^{n+k}}$ है।हम योग को $S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^k}$ के रूप में लिख सकते हैं।अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n-1} k x^k = \frac{x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2} - \frac{(n-1)x^n}{1-x}$। $x = \frac{1}{2}$ के लिए,यह सरल होकर $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^k} = 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}}$ हो जाता है।इस मान को $S$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \left( 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2}{2^n} - \frac{n+1}{2^{2n-1}} \right)$।$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n-1}} - \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{2^{2n-1}}$।पहला भाग एक ज्यामितीय श्रेणी है: $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n-1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$।दूसरा भाग $\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{2^{2n-1}} = 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{4^n} = 2 \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n} \right)$ है।$\sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ का उपयोग करते हुए,$x = 1/4$ के लिए,हमें $\frac{1/4}{(3/4)^2} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।$\sum_{n=1}^\infty x^n = \frac{x}{1-x}$ का उपयोग करते हुए,$x = 1/4$ के लिए,हमें $\frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।अतः,दूसरा भाग $2 \left( \frac{4}{9} + \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{4+3}{9} \right) = \frac{14}{9}$ है।अंत में,$S = 2 - \frac{14}{9} = \frac{18-14}{9} = \frac{4}{9}$।

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{k}{{{2^{n + k}}}}} } $ का मान ज्ञात कीजिए।

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