cosec^2 theta = frac{4xy}{(x + y)^2} केवल तब | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं भी वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है,अर्थात $\frac{x+y}{2} \ge

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$x = y, x 
eq 0$

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(B) हम जानते हैं कि किन्हीं भी वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है,अर्थात $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{(x+y)^2}{4} \geq xy$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{4xy}{(x+y)^2} \leq 1$।सभी वास्तविक $	heta$ के लिए $cosec^2 	heta \geq 1$ होता है,इसलिए समीकरण $cosec^2 	heta = \frac{4xy}{(x+y)^2}$ केवल तभी सत्य हो सकता है जब दोनों पक्ष $1$ के बराबर हों।इसके लिए $\frac{4xy}{(x+y)^2} = 1$ होना आवश्यक है,जो सरल होकर $4xy = (x+y)^2$ या $(x-y)^2 = 0$ देता है,जिसका अर्थ है $x = y$।इसके अतिरिक्त,चूंकि यदि हर शून्य हो तो $cosec^2 	heta$ अपरिभाषित होता है,इसलिए $x+y 
eq 0$ होना चाहिए। $x=y$ होने के कारण,इसका अर्थ है $2x 
eq 0$,अर्थात $x 
eq 0$।अतः,सही शर्त $x = y$ और $x 
eq 0$ है।

$cosec^2 \theta = \frac{4xy}{(x + y)^2}$ केवल तब सत्य है यदि

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