$CD$ और $GH$ क्रमशः $\angle ACB$ और $\angle EGF$ के समद्विभाजक हैं,इस प्रकार कि $D$ और $H$ क्रमशः $\Delta ABC$ और $\Delta EFG$ की भुजाओं $AB$ और $FE$ पर स्थित हैं। यदि $\Delta ABC \sim \Delta FEG$ है,तो सिद्ध कीजिए कि:
$(i) \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}$
$(ii) \Delta DCB \sim \Delta HGE$
$(iii) \Delta DCA \sim \Delta HGF$

(N/A) यह दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta FEG$ है।
अतः,$\angle A = \angle F, \angle B = \angle E,$ और $\angle ACB = \angle FGE$ है।
चूंकि $\angle ACB = \angle FGE$ है,इसलिए उनके समद्विभाजक भी बराबर होंगे।
अतः,$\angle ACD = \angle FGH$ (कोण समद्विभाजक)।
और,$\angle DCB = \angle HGE$ (कोण समद्विभाजक)।
$(i)$ $\Delta DCA$ और $\Delta HGF$ में:
$\angle A = \angle F$ (दिया है)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}$।
$(ii)$ $\Delta DCB$ और $\Delta HGE$ में:
$\angle DCB = \angle HGE$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$\angle B = \angle E$ (दिया है)
अतः,$\Delta DCB \sim \Delta HGE$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
$(iii)$ $\Delta DCA$ और $\Delta HGF$ में:
$\angle A = \angle F$ (दिया है)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।