Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Medium$D, E$ और $F$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$।
(N/A) दिया है: $D, E, F$ क्रमशः $\Delta ABC$ में भुजाओं $BC, CA, AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$।
उपपत्ति:
$1$. चूंकि $D$ और $F$ क्रमशः $BC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DF \parallel AC$ और $DF = \frac{1}{2} AC = AE$ है। अतः,$AFDE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. इसी प्रकार,$BDEF$ और $CDFE$ भी समांतर चतुर्भुज हैं।
$3$. समांतर चतुर्भुज $BDEF$ में,विकर्ण $DF$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$4$. समांतर चतुर्भुज $AFDE$ में,विकर्ण $DE$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$5$. समांतर चतुर्भुज $CDFE$ में,विकर्ण $DE$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $\operatorname{ar}(\Delta CDE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$6$. इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta AFE) + \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta CDE) + \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$7$. समान क्षेत्रफलों को प्रतिस्थापित करने पर: $\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = 4 \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$8$. अतः,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$।
उपपत्ति:
$1$. चूंकि $D$ और $F$ क्रमशः $BC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DF \parallel AC$ और $DF = \frac{1}{2} AC = AE$ है। अतः,$AFDE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. इसी प्रकार,$BDEF$ और $CDFE$ भी समांतर चतुर्भुज हैं।
$3$. समांतर चतुर्भुज $BDEF$ में,विकर्ण $DF$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$4$. समांतर चतुर्भुज $AFDE$ में,विकर्ण $DE$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$5$. समांतर चतुर्भुज $CDFE$ में,विकर्ण $DE$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $\operatorname{ar}(\Delta CDE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$6$. इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta AFE) + \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta CDE) + \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$7$. समान क्षेत्रफलों को प्रतिस्थापित करने पर: $\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = 4 \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$8$. अतः,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$।
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